87 B 13 [103 B]. ARISTOT. phys. A 2. 185 a 14. Neppure conviene confutare tutte le proposizioni false indistintamente; ma solo quelle che, partendo dai principi, concludono erroneamente; quelle che non partono dai principi, no; per esempio, confutare la quadratura del circolo fatta col metodo delle lunole, è compito del geometra, mentre confutare quella di Antifonte, non del geometra.18 * SIMPLIC. phys. 54, 12. Dei molti che han cercato la quadratura del circolo (cioè costruire un quadrato equivalente a un circolo), han creduto di averla trovata Antifonte e Ippocrate di Chio, ma si sono ingannati. Solo che l'errore di Antifonte non spetta al geometra metterlo in luce, per la ragione che, come dimostreremo, non muove da premesse geometriche...
Antifonte, descritto un cerchio, vi inscrisse uno qualsiasi dei poligoni tracciabili in esso. Sia per esempio inscritto un quadrato. Dimezzando poi ciascun lato del quadrato, condusse dai punti di divisione sino agli archi periferici le perpendicolari ai lati, le quali è evidente che tagliavano in due parti eguali il corrispondente segmento circolare. Poi congiunse i punti di divisione con gli estremi dei lati del quadrato, sicché dalle congiungenti risultarono quattro triangoli, e l'insieme della figura inscritta fu un ottagono. E proseguendo poi con lo stesso metodo, dimezzò ciascun lato dell'ottagono, condusse dai punti di divisione alla periferia le perpendicolari ai lati, congiunse i punti d'incontro con gli estremi dei segmenti divisi, e così fece un poligono di sedici lati.E così via con lo stesso metodo, dimezzando i lati dell'eccaidecagono, e tirando le congiungenti e raddoppiando di continuo i lati del poligono inscritto, egli credeva che, esauritasi una buona volta la superficie, si sarebbe avuto per tal modo un poligono inscritto nel cerchio, i cui lati per la loro piccolezza avrebbero coinciso con la periferia del cerchio. E dato che si può per qualunque poligono costruire un quadrato equivalente, come è dimostrato negli Elementi [EUCL. II 14], e potendosi il poligono coincidente col cerchio considerare eguale ad esso, saremo in grado di costruire un quadrato equivalente a un cerchio. | 87 B 13 [103 B]. ARISTOT. Phys. A 2. 185 a 14 ἅμα δ' οὐδὲ λύειν ἅπαντα προσήκει, ἀλλ' ἢ ὅσα ἐκ τῶν ἀρχῶν τις ἐπιδεικνὺς ψεύδεται, [II 340. 15] ὅσα δὲ μή, οὔ: οἷον τὸν τετραγωνισμὸν τὸν μὲν διὰ τῶν τμημάτων γεωμετρικοῦ διαλῦσαι, τὸν δ' Ἀντιφῶντος οὐ γεωμετρικοῦ. Vgl. Soph. el. 11. 172 a 7. SIMPLIC. phys. 54, 12 τὸν γὰρ τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου πολλῶν ζητούντων (τοῦτο δὲ ἦν τὸ κύκλωι ἴσον τετράγωνον θέσθαι) καὶ Ἀ. ἐνόμισεν εὑρίσκειν καὶ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος [II 340. 20] [c. 42, 3] ψευσθέντες. ἀλλὰ τὸ μὲν Ἀντιφῶντος ψεῦδος διὰ τὸ μὴ ἀπὸ γεωμετρικῶν ἀρχῶν ὡρμῆσθαι, ὡς μαθησόμεθα, οὐκ ἔστι γεωμετρικοῦ λύειν . . . [II 341. 1] ὁ δὲ Ἀ. γράψας κύκλον ἐνέγραψέ τι χωρίον εἰς αὐτὸν πολύγωνον τῶν ἐγγράφεσθαι δυναμένων. ἔστω δὲ εἰ τύχοι τετράγωνον τὸ ἐγγεγραμμένον. ἔπειτα ἑκάστην τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν δίχα τέμνων ἀπὸ [II 341. 5] τῆς τομῆς ἐπὶ τὰς περιφερείας πρὸς ὀρθὰς ἦγε γραμμάς, αἳ δηλονότι δίχα ἔτεμνον ἑκάστη τὸ καθ' αὑτὴν τμῆμα τοῦ κύκλου. ἔπειτα ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπεζεύγνυεν ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν γραμμῶν τοῦ τετραγώνου [II 341. 10] εὐθείας, ὡς γίνεσθαι τέτταρα τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν, τὸ δὲ ὅλον σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον ὀκτάγωνον. καὶ οὕτως πάλιν κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον, ἑκάστην τῶν τοῦ ὀκταγώνου πλευρῶν δίχα τέμνων ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν πρὸς ὀρθὰς ἄγων καὶ [II 341. 15] ἐπιζευγνὺς ἀπὸ τῶν σημείων, καθ' ἃ αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι ἐφήπτοντο τῶν περιφερειῶν, εὐθείας ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν διηιρημένων εὐθειῶν, ἑκκαιδεκάγωνον ἐποίει τὸ ἐγγραφόμενον. καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν πάλιν λόγον τέμνων τὰς πλευρὰς τοῦ ἑκκαιδεκαγώνου τοῦ ἐγγεγραμμένου καὶ ἐπιζευγνὺς εὐθείας καὶ διπλασιάζων τὸ ἐγγραφόμενον [II 341. 20 App.] πολύγωνον καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶν ὤιετό ποτε δαπανωμένου τοῦ ἐπιπέδου ἐγγραφήσεσθαί τι πολύγωνον τούτωι τῶι τρόπωι ἐν τῶι κύκλωι, οὗ αἱ πλευραὶ διὰ σμικρότητα ἐφαρμόσουσι τῆι τοῦ κύκλου περιφερείαι. παντὶ δὲ πολυγώνωι ἴσον τετράγωνον δυνάμενοι θέσθαι, ὡς ἐν τοῖς Στοιχείοις [EUCL. II 14] παρελάβομεν, διὰ [II 341. 25] τὸ ἴσον ὑποκεῖσθαι τὸ πολύγωνον τῶι κύκλωι ἐφαρμόζον αὐτῶι, ἐσόμεθα καὶ κύκλωι ἴσον τιθέντες τετράγωνον. |
| G Ora è chiaro che la dimostrazione non parte da principi geometrici; ma non, come dice Alessandro, «perché il geometra suppone come principio che il circolo tocchi la retta [tangente] per un punto, mentre Antifonte non ne tien conto», perché il geometra non lo suppone, ma lo dimostra nel terzo libro. Meglio è dunque dire che il principio [trascurato da Antifonte] è questo: essere impossibile che una retta coincida con una circonferenza; ma se è esterna, toccherà il cerchio in un punto; se interna, in due e non di più, e il contatto avverrà secondo un punto. E certamente il geometra, secando via via la superficie compresa tra la retta e l'arco di cerchio non la esaurirà, né mai raggiungerà la circonferenza, se è vero che la superficie è divisibile all'infinito. E supposto che la raggiunga, con ciò sarebbe negato quel principio geometrico, che dice che le grandezze sono divisibili all'infinito. Anche Eudemo dice che questo è il principio di cui non tien conto Antifonte. / THEMIST. phys. 4, 2. Non spetta più al geometra confutare Antifonte, il quale, inscrivendo un triangolo equilatero in un cerchio e su ciascun dei tre lati elevandone un altro isoscele che toccasse la periferia del cerchio, e via via procedendo così, credeva che alla fine il lato dell'ultimo triangolo, pur essendo una retta, avrebbe coinciso con la circonferenza. Ma con ciò egli negava il principio della divisione all'infinito, il quale principio è ammesso dal geometra.19* | G Καὶ δῆλον ὅτι ἡ συναγωγὴ παρὰ τὰς γεωμετρικὰς ἀρχὰς γέγονεν οὐχ ὡς ὁ Ἀλέξανδρός φησιν, 'ὅτι ὑποτίθεται μὲν ὁ γεωμέτρης τὸ τὸν κύκλον τῆς εὐθείας κατὰ σημεῖον ἅπτεσθαι ὡς ἀρχήν, ὁ δὲ Ἀντιφῶν ἀναιρεῖ τοῦτο.' οὐ γὰρ ὑποτίθεται ὁ γεωμέτρης τοῦτο, ἀλλ' ἀποδείκνυσιν αὐτὸ ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ. ἄμεινον οὖν λέγειν ἀρχὴν εἶναι τὸ ἀδύνατον εἶναι εὐθεῖαν ἐφαρμόσαι περιφερείᾳ, ἀλλ' ἡ μὲν ἐκτὸς κατὰ ἓν σημεῖον ἐφάψεται τοῦ κύκλου, ἡ δὲ ἐντὸς κατὰ δύο μόνον καὶ οὐ πλείω, καὶ ἡ ἐπαφὴ κατὰ σημεῖον γίνεται. καὶ μέντοι τέμνων ἀεὶ τὸ μεταξὺ τῆς εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ἐπίπεδον οὐ δαπανήσει αὐτὸ οὐδὲ καταλήψεταί ποτε τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν, εἴπερ ἐπ' ἄπειρόν ἐστι διαιρετὸν τὸ ἐπίπεδον. εἰ δὲ καταλαμβάνει, ἀνῄρηταί τις ἀρχὴ γεωμετρικὴ ἡ λέγουσα ἐπ' ἄπειρον εἶναι τὰ μεγέθη διαιρετά. καὶ ταύτην καὶ ὁ Εὔδημος τὴν ἀρχὴν ἀναιρεῖσθαί φησιν ὑπὸ τοῦ Ἀντιφῶντος. / THEMIST. Phys. 4, 2 πρὸς Ἀντιφῶντα δὲ οὐκέτ' ἂν ἔχοι λέγειν ὁ γεωμέτρης, ὃς ἐγγράφων [II 341. 30] τρίγωνον ἰσόπλευρον εἰς τὸν κύκλον καὶ ἐφ' ἑκάστης τῶν πλευρῶν ἕτερον ἰσοσκελὲς συνιστὰς πρὸς τῆι περιφερείαι τοῦ κύκλου καὶ τοῦτο ἐφεξῆς ποιῶν ὤιετό ποτε ἐφαρμόσειν τοῦ τελευταίου τριγώνου τὴν [II 341. 35 App.] πλευρὰν εὐθεῖαν οὖσαν τῆι περιφερείαι. τοῦτο δὲ ἦν 〈τοῦ〉 τὴν ἐπ' ἄπειρον τομὴν ἀναιροῦντος, ἣν ὑπόθεσιν ὁ γεωμέτρης λαμβάνει. |
