Da K si conduca la perpendicolare al piano del cerchio BΔA: per essere retto il cilindro, cadrà sulla circonferenza. Si chiami essa KI ; e si chiami Θ il punto d'incontro con BZ della corda mandata da I ad A, M, il punto in cui AΛ incontra il semicerchio BMZ. Si uniscano K con Δ', M con I, M con Θ. Ora, poiché i due semicerchi Δ'KA e BMZ s'alzano retti sul piano soggiacente, MΘ, corda di BMZ, trovantesi anche nel piano di Δ'KA, sarà perpendicolare al piano del cerchio, e dunque perpendicolare a BZ. E dunque il rettangolo ΘB. ΘZ, e pertanto anche il rettangolo ΘA. ΘΙ, sarà equivalente al quadrato di MΘ. Quindi il triangolo AMI sarà simile a ciascuno dei triangoli MIΘ e MAΘ; e l'angolo IMA sarà retto. Ma anche l'angolo Δ'KA è retto. Dunque KΔ' e MI sono parallele. Pertanto come Δ'A sta ad AK, e KA sta ad AI, così IA sta ad AM per la simiglianza dei triangoli. Le quattro rette Δ'A, AK, AI e AM son dunque successivamente proporzionali. Ma AM è uguale a Γ perché uguale ad AB. Alle due rette date AΔ e Γ si son dunque trovate le due medie proporzionali AK ed AI.
 | καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΔΑ ἡμικυκλίου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω: πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον. πιπτέτω καὶ [I 426. 10] ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευχθεῖσα συμβαλέτω τῆι ΒΖ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΛ τῶι ΒΜΖ ἡμικυκλίωι κατὰ τὸ Μ. ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΚΔ´, ΜΙ, ΜΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν Δ´ΚΑ, ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῶι τοῦ κύκλου ἐπιπέδωι: ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΒ, ΘΖ, [I 426. 15] τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΑ, ΘΙ, ἴσον ἐστὶ τῶι ἀπὸ ΜΘ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρωι τῶν ΜΙΘ, ΜΑΘ: καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ Δ´ΚΑ ὀρθή. παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΚΔ´, ΜΙ, καὶ ἔσται ἀνὰ λόγον ὡς ἡ Δ´Α πρὸς ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ, οὕτως ἡ ΙΑ πρὸς ΑΜ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων: τέσσαρες ἄρα αἱ Δ´Α, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ ἑξῆς ἀνὰ λόγον εἰσίν. καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ ἴση [I 426. 20] τῆι Γ, ἐπεὶ καὶ τῆι ΑΒ. δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσαι ἀνὰ λόγον ηὕρηνται αἱ ΑΚ, ΑΙ.
Zur Verdeutlichung wird eine moderne Übersetzung und Zeichnung Paul Gohlkes gegeben. Vgl. auch Hoppe Mathematik und Astronomie im klass. Altert. [I 426. 25] (Heidelberg 1911) S. 138. »Gesucht sind zwei mittlere Proportionale zu den gegebenen Strecken ΑΔ und Γ. [I 426. 30]
Über ΑΔ als Durchmesser sei in der Grundebene der Kreis ΑΒΔΖ gezeichnet, in ihn als Sehne ΑΒ = Γ eingetragen, [I 426. 35] deren Verlängerung die Kreistangente des Punktes Δ in Π schneide. Ferner sei ΒΕΖ|| ΠΔΟ gezogen. Man denke über [I 426. 40] dem Halbkreis ΑΒΔ einen geraden Halbzylinder und über der Strecke ΑΔ einen Halbkreis in der Ebene des Rechtecks [I 426. 45] (ΑΔΡΤ) jenes Halbzylinders.
Wenn dieser Halbkreis um den Punkt Α [I 427. 1] (besser: um die Achse ΑΡ) gedreht wird und zwar in Richtung auf Β, so wird er dabei auf der Zylinderoberfläche eine gewisse Kurve beschreiben [I 427. 5] (ΔΚΑ). Anderseits: wenn das Dreieck ΑΠΔ entgegengesetzt um die Achse ΑΔ gedreht wird, so wird die Seite ΑΠ einen Kegelmantel beschreiben und dabei in irgendeinem Punkte jene [I 427. 10] Kurve auf der Zylinderfläche schneiden. (Die Seite ΑΠ oder der Kegelmantel bildet eine zweite Kurve - ΒΚ - auf der Zylinderfläche). In dem Augenblick, in dem Kurve und [I 427. 15] Dreiecksseite sich schneiden, habe der gedrehte Halbkreis (schraffiert) die Lage Δ´ΚΑ, das entgegengesetzt gedrehte Dreieck die Lage ΑΛΔ, der Schnittpunkt sei Κ.
[I 427. 20] Der Punkt Β, welcher auf dem Kegelmantel einen Halbkreis über ΒΖ in einer zur Grundebene senkrechten Ebene beschreibt, liegt jetzt in Μ.
Von Κ werde auf die Grundebene das Lot gefällt, das die Kreislinie ΑΒΓ trifft (in Ι), da der Zylinder gerade ist. Der Schnittpunkt von ΑΙ und ΒΖ sei Θ. Endlich sind noch zu ziehen ΚΔ´, ΜΙ und ΜΘ. Da nun die [I 427. 25] beiden Ebenen der Kreise ΒΜΖ und ΑΚΔ´, senkrecht stehen auf der Grundebene, steht ihre Schnittlinie ΜΘ ebenfalls senkrecht auf allen Geraden der Grundebene, die durch den Fußpunkt Ι hindurchgehen. Also auch ΜΘ_|_ΒΖ. Mithin ist das Rechteck aus ΘΒ und ΘΖ oder (nach dem Sehnensatz) aus ΘΑ und ΘΙ gleich dem Quadrat über ΜΘ. Also ist ΑΜΙ (nach dem [I 427. 30] Höhensatz) ein rechter Winkel, wie auch Δ´ΚΑ (nach dem Satz des Thales). Daher ist ΚΔ´ || ΜΙ, und es ergibt sich die Proportion Δ´Α : ΑΚ = ΚΑ : ΑΙ = ΙΑ : ΑΜ aus der Ähnlichkeit der Dreiecke. Nun ist ΑΜ = ΑΒ = Γ, ΑΔ´ = ΑΔ; folglich sind ΑΚ und ΑΙ mittlere Proportionale zu ΑΔ und Γ .« - Zur Erläuterung der Figuren: »Der Text des Archimedes unterschied [I 427. 35] nicht die beiden Lagen des Punktes Δ; hier ist die zweite durch einen Strich gekennzeichnet. Die moderne Darstellung (Fig. 1) bedient sich der Zentralprojektion, die Griechen (Fig. 2) legten alle Ebenen in die Zeichenebene und nur, wenn anders die notwendigen Schnittpunkte nicht zu erzielen waren, wurde an Stelle des Halbkreises ein kleinerer Kreisbogen gezeichnet.« |
