| 47 A 17. PORPHYR. in Ptolem. harm. I 6 p. 107. Alcuni Pitagorici, secondo che raccontano Archita e Didimo, dopo aver stabilito i rapporti degli accordi, li paragonavano per determinare quali erano più perfetti, in questo modo. Prendevano, dei numeri che costituiscono i rapporti degli accordi, quelli più bassi, da essi chiamati numeri base, e li assegnavano agli accordi: poi da ciascuno dei numeri che costituivano i termini dei singoli rapporti toglievano una unità, e quindi guardavano quale numero risultava dalla sottrazione: per esempio, toglievano un'unità al 2 e all'1, che costituiscono il rapporto dell'accordo d'ottava, e poi guardavano quel che restava, e cioè un'unità; poi toglievano un'unità al 4 e al 3, che costituiscono il rapporto dell'accordo di quarta, e avevano, dopo la sottrazione, dal 4 il 3, dal 3 il 2, sicché quel che restava era il 5; toglievano al 3 e al 2, che costituiscono il rapporto dell'accordo di quinta, un'unità, trovando così dal 3 il 2 e dal 2 l'uno, sicché il resto era il 3. Chiamavano elementi simili le unità sottratte, elementi dissimili i numeri che rimanevano dopo la sottrazione: per due ragioni, perché uguali e simili sono i numeri sottratti a entrambi i termini, e l'unità è uguale all'unità; e perché, sottratte queste unità, necessariamente dissimili e disuguali sono i resti, dato che disuguali sono i resti quando a elementi disuguali si tolgano parti uguali. Or di termini disuguali sono costituiti rapporti multipli e superparticolari, in cui stanno gli accordi; sicché i loro resti, sottratte parti uguali, sono disuguali. Gli elementi dissimili dunque si trovano per mescolanza; mescolare, infatti, i Pitagorici chiamano il togliere le unità a entrambi i termini. Quindi gli elementi dissimili sono messi a paragone, e risultano, per i vari accordi, questi: 1 per quello d'ottava, 5 per quello di quarta, 3 per quello di quinta. Essi dicono poi che, quanto minore è l'elemento dissimile, tanto più perfetto è l'accordo: accordo perfetto è dunque quello d'ottava, perché 1 è il dissimile suo proprio; vien poi quello di quinta, perché 3 è il dissimile suo proprio; ultimo è l'accordo di quarta, perché il dissimile suo proprio è 5 [fr. 4 Blass]. | 47 A 17. PORPHYR. in Ptolem. harm. I 6 p. 107 D. [I 429. 1] τῶν Πυθαγορικῶν τινες, ὡς Ἀ. καὶ Δίδυμος ἱστοροῦσι, μετὰ τὸ καταστήσασθαι τοὺς λόγους τῶν συμφωνιῶν συγκρίνοντες αὐτοὺς πρὸς ἀλλήλους καὶ τοὺς συμφώνους μᾶλλον ἐπιδεικνύναι βουλόμενοι τοιοῦτόν τι ἐποίουν˙ πρώτους λαβόντες ἀριθμούς, οὓς ἐκάλουν [I 429. 5] πυθμένας, τῶν τοὺς λόγους τῶν συμφωνιῶν ἀποτελούντων . . . τούτους οὖν τοὺς ἀριθμοὺς ἀποδόντες ταῖς συμφωνίαις ἐσκόπουν καθ' ἕκαστον λόγον, τῶν τοὺς ὅρους περιεχόντων ἀριθμῶν ἀφελόντες ἀφ' ἑκατέρων τῶν ὅρων ἀνὰ μονάδα, τοὺς ἀπολειπομένους ἀριθμοὺς μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν οἵτινες εἶεν˙ οἷον τῶν β̅ α̅, οἵπερ ἦσαν τῆς διὰ πασῶν, ἀφελόντες ἀνὰ μονάδα ἐσκόπουν τὸ καταλειπόμενον˙ ἦν δὲ ἕν. [I 429. 10 App.] τῶν δὲ δ̅ καὶ γ̅, οἵτινες ἦσαν τῆς διὰ τεσσάρων, ἀφελόντες ἀνὰ μονάδα εἶχον ἐκ μὲν οὖν τῶν τεσσάρων ὑπολειπόμενον τὸν τρία, ἐκ δὲ τῶν τριῶν τὸν δύο˙ ὥστ' ἀπὸ συναμφοτέρων τῶν ὅρων μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν τὸ ὑπολειπόμενον ἦν πέντε. τῶν δὲ γ̅ καὶ β̅, οἵτινες ἦσαν τῆς διὰ πέντε, ἀφελόντες ἀνὰ μονάδα εἶχον ἐκ μὲν τῶν τριῶν ὑπολειπόμενα δύο, ἐκ δὲ τῶν δύο ὑπολειπόμενον ἕν, ὥστε τὸ συναμφότερον [I 429. 15] λειπόμενον εἶναι τρία. ἐκάλουν δὲ τὰς μὲν ἀφαιρουμένας μονάδας ὅμοια, τὰ δὲ λειπόμενα μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν ἀνόμοια, διὰ δύο αἰτίας, ὅτι ἐξ ἀμφοῖν τῶν ὅρων ὁμοία ἡ ἀφαίρεσις ἐγίνετο καὶ ἴση˙ ἴση γὰρ ἡ μονὰς τῆι μονάδι˙ ὧν ἀφαιρουμένων ἐξ ἀνάγκης τὰ ὑπολειπόμενα ἀνόμοια καὶ ἄνισα. ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἀνίσων ἴσα ἀφαιρεθῆι, τὰ λοιπὰ ἔσται ἄνισα. οἱ δὲ πολλαπλάσιοι λόγοι καὶ ἐπιμόριοι, [I 429. 20] ἐν οἷς θεωροῦνται αἱ συμφωνίαι, ἐν ἀνίσοις ὅροις ὑφεστήκασιν, ἀφ' ὧν ἴσων ἀφαιρουμένων τὰ λοιπὰ πάντως ἄνισα. γίνεται οὖν τὰ ἀνόμοια τῶν συμφωνιῶν συμμιγέντα˙ συμμίσγειν δὲ λέγουσιν οἱ Πυθαγόρειοι τὸ ἕνα ἐξ ἀμφοτέρων ἀριθμὸν λαβεῖν. ἔσται οὖν τὰ ἀνόμοια συντεθέντα καὶ καθ' ἑκάστην τῶν συμφωνιῶν τοιαῦτα˙ τῆς μὲν διὰ πασῶν ἕν, τῆς δὲ διὰ τεσσάρων πέντε, τῆς δὲ διὰ πέντε τρία. [I 429. 25] ἐφ' ὧν δ' ἄν, φασί, τὰ ἀνόμοια ἐλάσσονα ἦι, ἐκεῖνα τῶν ἄλλων εἰσὶ συμφωνότερα˙ σύμφωνον μέν ἐστιν ἡ διὰ πασῶν, ὅτι ταύτης τὰ ἀνόμοια ἕν˙ μεθ' ἣν ἡ διὰ πέντε, ὅτι ταύτης τὰ ἀνόμοια τρία˙ τελευταία δὲ ἡ διὰ τεσσάρων, ὅτι ταύτης τὰ ἀνόμοια πέντε [= fr. 4 Blass]. |