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47 A 19. BOËTH. inst. mus. III 11. Il rapporto superparticolare non può essere diviso in due rapporti proporzionali per l'interposizione di un numero medio... La dimostrazione d'Archita è troppo vaga. E' di tal modo. Sia, egli dice, il rapporto superparticolare AB. Prendo i numeri minimi che stanno in quel rapporto: C e DE. Ora, essendo C e DE i numeri minimi in quel rapporto, ed essendo il rapporto superparticolare, il numero DE supererà il numero C di una parte comune a sé e ad esso: sia questa sua parte D. Dico che D non sarà un numero, ma l'unità. Perché se D è numero ed è divisore del numero DE, il numero DE sarà divisibile per D: e quindi anche il numero E sarà divisibile per D; e perciò anche C. Pertanto sia C che DE saranno divisibili per D, il che è impossibile: perché i numeri minimi che si trovano in un rapporto uguale a quello di qualsivoglia altro numero, sono primi tra loro, e hanno come differenza l'unità. D è quindi unità, e il numero CD supererà il numero C di un'unità. Perciò non c'è numero medio che scinda quel rapporto in due rapporti uguali4*[fr. 6 Blass]. 47 A 19. BOËTH. de. mus. III 11 superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposita numero non potest . . . quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. haec vero est huiusmodi. sit, inquit, superparticularis proportio • A • B • . sumo in eadem proportione minimos [I 429. 35] • C • DE • . quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione • C • DE • et sunt superparticulares, • DE • numerus • C • numerum parte una sua eiusque transcendit. sit haec • D • . dico quoniam • D • non erit numerus, sed unitas. si enim est numerus • D • et pars est eius qui est • DE • , metietur • D • numerus • DE • numerum; quocirca et • E • numerum metietur. quo fit, ut • C • quoque metiatur. utrumque igitur, • C • et • DE • , numeros [I 430. 1] metietur • D • numerus, quod est impossibile. qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, [I 430. 5 App.] et solum differentiam retinent unitatem. unitas igitur est • D • . igitur • DE • numerus • C • numerum unitate transcendit. quocirca nullus incidit medius numerus, qui eam proportionem aequaliter scindat [fr. 6 Bl.].