ἐπεὶ δὲ φανερὸν ὅτι ἕκαστον ἀποδεῖξαι οὐκ ἔστιν ἀλλ' ἢ ἐκ τῶν ἑκάστου ἀρχῶν, ἂν τὸ δεικνύμενον ὑπάρχῃ ᾗ ἐκεῖνο, οὐκ ἔστι τὸ ἐπίστασθαι τοῦτο, ἂν ἐξ ἀληθῶν καὶ ἀναποδείκτων δειχθῇ καὶ ἀμέσων. ἔστι γὰρ οὕτω δεῖξαι, ὥσπερ Βρύσων τὸν τετραγωνισμόν. κατὰ κοινόν τε γὰρ δεικνύουσιν οἱ τοιοῦτοι λόγοι, ὃ καὶ ἑτέρῳ ὑπάρξει˙ διὸ καὶ ἐπ' ἄλλων ἐφαρμόττουσιν οἱ λόγοι οὐ συγγενῶν. οὐκοῦν οὐχ ᾗ ἐκεῖνο ἐπίσταται, ἀλλὰ κατὰ συμβεβηκός˙ οὐ γὰρ ἂν ἐφήρμοττεν ἡ ἀπόδειξις καὶ ἐπ' ἄλλο γένος. διὰ τοῦτο τὸν Βρύσωνος τετραγωνισμὸν οὐκ ἄν τις εἴποι γεωμετρικὴν ἀπόδειξιν˙ χρῆται γὰρ ἀξιώματι ἀληθεῖ μὲν κοινῷ δέ˙ τοιοῦτον γὰρ 〈τὸ〉 ὧν τὰ αὐτὰ μείζω τε καὶ ἐλάττω, ἐκεῖνα εἶναι ἴσα ἀλλήλοις˙ οὐ γὰρ ἐπὶ μεγέθους μόνον ἀλλὰ καὶ ἐπὶ ἀριθμοῦ καὶ χρόνου καὶ ἐπ' ἄλλων πολλῶν ἀληθὲς τὸ ἀξίωμα. τί οὖν ἐστιν ὃ προσλαμβάνων ὁ Βρύσων ᾤετο τετραγωνίζειν τὸν κύκλον, οὐδὲν μὲν πρὸς τὸν παρόντα λόγον ἐστί, τῶν φιλομαθῶν δ' ἕνεκεν εἰρήσθω. ὁ κύκλος, φησί, τῶν ἐγγραφομένων πολυγώνων ἁπάντων μείζων ἐστί, τῶν περιγραφομένων δ' ἐλάττων˙ ὁμοίως δὲ καὶ τὸ πολύγωνον τὸ μεταξὺ γραφόμενον τῶν τε ἐγγραφομένων καὶ τῶν περιγραφομένων τῷ κύκλῳ˙ τῶν αὐτῶν ἄρα μείζων τε καὶ ἐλάττων ἐστὶν ὅ τε κύκλος καὶ τουτὶ τὸ πολύγωνον, ὥστε καὶ ἀλλήλοις ἴσα διὰ τὸ ἀξίωμα τὸ εἰρημένον. ἔτι καὶ τοῦτο προστίθησι τοῖς περὶ ἐπιστήμης δεδειγμένοις, ὅτι οὐκ ἀρκεῖ 〈εἰς〉 τὸ ποιῆσαι ἀπόδειξιν τὸ ἀληθεῖς τε καὶ ἀμέσους λαβεῖν προτάσεις, ἀλλὰ καὶ δεῖ οἰκείας τοῦ ὑποκειμένου ἀποδεικτοῦ εἶναι ταύτας. [. . . .] (111, 13) δεῖ δέ, ὡς πολλάκις εἴρηται, τὴν ἀπόδειξιν ἐκ τῶν ἑκάστου οἰκείων ἀρχῶν γίνεσθαι, τουτέστιν ἵνα ὁ μέσος ὅρος οἰκεῖος ᾖ τοῖς ἄκροις καὶ μηδενὶ ἄλλῳ κοινός. ὥστε, φησί, δεῖ οὐ μόνον ἐξ ἀληθῶν καὶ ἀμέσων ἀλλὰ καὶ ἐξ οἰκείων τοῦ συμπεράσματος εἰλῆφθαι τὰς προτάσεις˙ ἐπεὶ οὕτω, φησί, καὶ τὸν Βρύσωνος τετραγωνισμὸν δεῖξαι δυνατὸν ἔκ τινων κοινοτέρων καὶ μὴ ἐκ τῶν οἰκείων ἀρχῶν τοῦ προκειμένου. ὁ μὲν οὖν Ἀριστοτέλης περὶ τοῦ Βρύσωνος τετραγωνισμοῦ τοσοῦτόν φησιν. ὁ δὲ Ἀλέξανδρός φησι τὸν Βρύσωνα ἐπιχειρῆσαι τετραγωνίσαι τὸν κύκλον τὸν τρόπον τοῦτον. παντός, φησίν, ἐγγραφομένου ἐν τῷ κύκλῳ εὐθυγράμμου σχήματος μείζων ἐστὶν ὁ κύκλος, τοῦ δὲ περιγραφομένου ἐλάττων (ἐγγράφεσθαι δὲ λέγεται ἐν κύκλῳ εὐθύγραμμον τὸ ἐντὸς τοῦ κύκλου γραφόμενον, περιγράφεσθαι δὲ τὸ ἐκτός)˙ ἀλλὰ καὶ τὸ μεταξὺ τοῦ τε ἐγγραφομένου καὶ περιγραφομένου εὐθυγράμμου γραφόμενον εὐθύγραμμον σχῆμα τοῦ μὲν περιγραφομένου ἐστὶν ἔλαττον τοῦ δὲ ἐγγραφομένου μεῖζον˙ τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ μείζονα καὶ ἐλάττονα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν˙ ὁ κύκλος ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ μεταξὺ γραφομένῳ εὐθυγράμμῳ τοῦ τε ἐγγραφομένου καὶ περιγραφομένου. ἔχομεν δὲ παντὶ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι˙ τῷ κύκλῳ ἄρα ἴσον τετράγωνον ἔστι ποιῆσαι. ὁ μὲν οὖν Ἀλέξανδρος οὕτως ἔλεγε δὲ ὁ φιλόσοφος Πρόκλον τὸν αὑτοῦ διδάσκαλον ἐπισκήπτειν τῇ Ἀλεξάνδρου ἐξηγήσει, ὅτι, εἰ οὕτως ἐτετραγώνισεν ὁ Βρύσων τὸν κύκλον, συνέτρεχε τῷ Ἀντιφῶντος τετραγωνισμῷ. τὸ γὰρ μεταξὺ τοῦ ἐγγραφομένου καὶ περιγραφομένου εὐθυγράμμου γραφόμενον σχῆμα ἐφαρμόζειν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, τοῦτο καὶ ὁ Ἀντιφῶν ἐποίει, ἕως οὗ ἐφήρμοσεν, ὡς ἐκεῖνος ἔλεγεν, εὐθεῖαν περιφερείᾳ, ὅπερ ἀδύνατον˙ εἴρηται δὲ περὶ τούτου ἐν ταῖς Φυσικαῖς. οὐκ ἂν οὖν ὁ Ἀριστοτέλης τὸν Βρύσωνος τετραγωνισμὸν ὡς ἕτερον ὄντα παρὰ τὸν Ἀντιφῶντος, παρετίθει, εἴ γε οὕτως ὁ Βρύσων ἐτετραγώνισεν ἐγὼ δέ, φησὶν ὁ Πρόκλος, καὶ τὸ ἀξίωμα ψευδὲς εἶναι λέγω˙ οὐ γὰρ ἀληθὲς τὸ τὰ τοῦ αὐτοῦ μείζονα καὶ ἐλάττονα, ταῦτα ἴσα εἶναι ἀλλήλοις˙ τὴν γοῦν δεκάδα μείζονα μὲν εἶναι τῶν ὀκτώ, ἐλάττονα δέ τῶν δώδεκα˙ ἀλλὰ δὴ καὶ τὰ ἐννέα ὁμοίως τῶν μὲν δώδεκά ἐστιν ἐλάττονα, μείζονα δὲ τῶν ὀκτώ˙ καὶ οὐ δήπου τὰ δέκα καὶ τὰ ἐννέα ἴσα ἐστίν, ἐπειδὴ τῶν αὐτῶν, τῶν τε δώδεκα καὶ τῶν ὀκτώ, καὶ μείζονά ἐστι καὶ ἐλάττονα. οὐκ ἄρα, κἂν τοῦ αὐτοῦ, [τὸ μεταξὺ] τοῦ τε ἐγγραφομένου καὶ τοῦ περιγραφομένου, μείζονά ἐστι καὶ ἐλάττονα ὁ κύκλος καὶ τὸ μεταξὺ τοῦ τε ἐγγραφομένου καὶ τοῦ περιγραφομένου γραφόμενον εὐθύγραμμον, ἤδη διὰ τοῦτο καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα, εἰ μή τις, ὅπερ ἤδη εἴρηται, κατὰ τὸν Ἀντιφῶντα τὸ μεταξὺ τοῦ ἐγγραφομένου καὶ περιγραφομένου γραφόμενον εὐθύγραμμον ἐφαρμόζειν φησὶ τῷ κύκλῳ ὅπερ ἐστιν ἀδύνατον˙ οὐδέποτε γὰρ εὐθεῖα περιφερείᾳ ἐφαρμόζει. ὁ οὖν Πρόκλος ἔλεγε τετραγωνίζειν τὸν Βρύσωνα τὸν τρόπον τοῦτον˙ παντόν, φησί, τοῦ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν ὁ κύκλος, τοῦ δὲ περιγραφομένου ἐλάττων˙ οὗ δὲ ἔστι μεῖζον καὶ ἔλαττον, τούτου ἔστι καὶ ἴσον˙ ἔστι δέ μεῖζον καὶ ἔλαττον εὐθύγραμμον τοῦ κύκλου˙ ἔστιν ἄρα αὐτοῦ καὶ ἴσον. καὶ πρὸς τὰ Πρόκλου δὲ ἔστιν ἐκεῖνο εἰπεῖν, ὅτι, εἰ οὕτως ὁ Βρύσων κατεσκεύαζε τὸν τοῦ κύκλου τετραγωνισμόν, οὐδὲ κατεσκεύαζεν ὅλως ἀλλὰ τὸ ἐξ ἀρχῆς ᾐτεῖτο. οὐδὲ γὰρ οἱ τὸν κύκλον τετραγωνίζοντες τοῦτο ἐζήτουν, εἰ οἷον τέ ἐστι τῷ κύκλῳ ἴσον τετράγωνον εἶναι, ἀλλ'ὡς οἰόμενοι ὅτι ἐνδέχεται εἶναι οὕτως ἐπειρῶντο τετράγωνον ἴσον τῷ κύκλῳ γεννᾶν. τὸ δὲ νῦν παρὰ τοῦ Πρόκλου λεχθέν, ὡς ἔλεγεν ὁ ἡμέτερος διδάσκαλος, ὅτι μὲν ἐνδέχεται ἴσον εἶναι τῷ κύκλῳ τετράγωνον, εἴπερ ἄρα καὶ τοῦτο συγχωρηθείη, ἔδειξεν˙ οὐ μὴν δὲ καὶ κατέγραψεν ἴσον τῷ κύκλῳ τετράγωνον οὐδὲ πῶς ἂν τοῦτο γένοιτο ἐδίδαξεν, ὅπερ ποιῆσαι βούλονται οἱ τὸν κύκλον τετραγωνίζοντες. καὶ ὁ Ἀριστοτέλης δὲ ὡς περὶ τετραγωνισθέντος τοῦ κύκλου ὑπὸ τοῦ Βρύσωνος, εἰ καὶ μὴ γεωμετρικῶς, οὕτως εἶπεν. ὥστε οὐδὲ ἡ Πρόκλου ἐξήγησις προσφυὴς εἶναι φαίνεται. εἰ δέ τις καὶ συχωρήσοι οὕτω τὸν Βρύσωνα κατασκευάζειν, πρὸς αὐτὸν ἔστιν ἀντειπεῖν ὅτι ἐπὶ μὲν τῶν ὁμογενῶν ἀληθής ἐστιν ὁ λόγος, ὅτι οὗ ἔστι μεῖζον καὶ ἔλαττον, τούτου ἔστι καὶ ἴσον, ἐπὶ μέντοι τῶν ἀνομοιογενῶν οὐκέτι ἀληθὲς τοῦτο. δείκνυται γοῦν παρὰ τῷ γεωμέτρῃ ὅτι ἐπὶ τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ ΓΔΒ ἡ ἀπ'ἄκρας τῆς διαμέτρου τῆς ΓΒ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη εὐθεῖα ἡ ΑΓ πάντως ἐκτὸς μὲν πίπτει τοῦ κύκλου, τῶν δὲ δύο γωνιῶν τῶν γινομένων ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς διαμέτρου καὶ ἔτι ὑπὸ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἀχθείσης καὶ τῆς περιφερείας, λέγω δὴ τῆς τε ἐκτὸς τῆς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τῆς ἐντὸς τῆς ὑπὸ ΔΓΒ, ἡ μὲν ἐκτὸς πάσης ὀξείας γωνίας εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστὶν, ἡ δὲ ἐντὸς πάσης ὀξείας γωνίας εὐθυγράμμου μείζων ἐστί. καὶ ἰδοὺ ἐνταῦθα τῆς αὐτῆς ὀξείας εὐθυγράμμου γωνίας μείζονα καὶ ἐλάττονα δεδειχότες ἴσην εὑρεῖν οὐκ ἂν δυνησώμεθα διὰ τὸ ἀνομοιογενῆ εἶναι τὰ μεγέθη˙ ἐξ εὐθείας γὰρ καὶ περιφερείας ὑπόκεινται αἱ προκείμεναι γωνίαι, ἅς καὶ κερατοειδεῖς καλοῦσι. καὶ τὸ παράδοξον, ὅτι καὶ τῆς ἐκτὸς γωνίας ἐπ'ἄπειρον αὐξηθῆναι δυναμένης καὶ μειωθῆναι τῆς ἐντὸς, καὶ ἔμπαλιν τῆς ἐντὸς ἐπ'ἄπειρον αὔξεσθαι δυναμένης μειοῦσθαι δὲ τῆς ἐκτός, οὔτε ἡ ἐκτὸς αὐξομένη ἐπ'ἄπειρον ἴση ποτὲ γενήσεται τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ, ἀλλ'ἀεὶ ἔσται πάσης ἐλάττων, οὔτε ἡ ἐντὸς ἐπ'ἄπειρον αὐξομένη τῇ ὀρθῇ ποτε γενήσεται ἴση. αὔξομεν δὲ τὴν μὲν ἐκτὸς γωνίαν ἐλάττονας κύκλους γράφοντες˙ οἷον ἐὰν τέμω τὴν ΓΒ διάμετρον κατὰ τὸ Ε σημεῖον καὶ τὴν ΓΕ εὐθεῖαν δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ διαστήματι δὲ τῷ ΖΓ κύκλον γράψω, οὗ ἡμικύκλιον τὸ ΓΗΕ, ἡ μὲν ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΗ ηὔξηται, καὶ πάλιν οὐδὲν ἧττον πάσης ὀξείας ἐστὶν ἐλάττων διὰ τὸν εἰρημένον λόγον˙ ἐπὶ παντὸς γάρ κύκλου δέδεικται τὸ θεώρημα τῷ γεωμέτρῃ. κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον πάλιν τὴν τοῦ ἐντὸς κύκλου διάμετρον τεμὼν καὶ ἐλάττονα κύκλον ἐγγράψας καὶ τοῦτο ἐπ'ἄπειρον ποιήσας ἀεὶ μὲν αὔξω τὴν ἐκτός, μειῶ δὲ τὴν ἐντός, καὶ οὔτε ἡ ἐκτὸς γενήσεταί ποτε ἴση ὀξείᾳ εὐθυγράμμῳ οὔτε ἡ ἐντός, ἀλλ'ἡ μὲν ἐκτὸς ἀεὶ ἔσται ἐλάττων, ἡ δὲ ἐντὸς ἀεὶ μείζων, οὕτω μὲν τὴν μὲν ἐκτὸς αὔξω, μειῶ δὲ τὴν ἐντός. ἀνάπαλιν δέ αὔξω μὲν τὴν ἐντός, μειῶ δὲ τὴν ἐκτὸς μείζονας κύκλους περιγράφων τοῦτον τὸν τρόπον. ἐκβάλλω γὰρ τὴν ΓΒ διάμετρον ἐπ'εὐθείας ἐπὶ τὸ Ε, καί κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλον γράφω, οὗ ἡμικύκλιον τὸ ΓΖΕ. καὶ δῆλον ὅτι τὸ ΓΖΕ ἡμικύκλιον ἐντὸς πεσεῖται τῆς ΑΓ εὐθείας διὰ τὸ δεδεῖχθαι ὅτι ἡ ἀπ'ἄκρας τῆς διαμέτρου πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη πάντως ἐκτὸς πίπτει τοῦ κύκλου. ὅτι δὲ οὐδὲ μόριόν τι τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ ἐκτὸς τοῦ ΓΖΕ ἐφάπτεται μορίου τινὸς τοῦ ἐντὸς ἡμικυκλίου τοῦ ΓΔΒ, δῆλον ἐντεῦθεν. εἰ γὰρ ἅπτεται, ἀπὸ τοῦ σημείου, καθ'ὃ ἐφαρμόζουσιν, εἰ τύχοι, τοῦ Η, ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, τό τε Β καὶ τὸ Θ, ἡ ΗΒ, ΗΘ εὐθεῖα. ἐπεὶ οὗν τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ἐντὸς ἡμικυκλίου, ἴση ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΘΓ˙ πάλιν ἐπεὶ τὸ Β κέντρον ἐστὶ τοῦ ἐκτὸς ἡμικυκλίου τοῦ ΓΖΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΒΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΘ καὶ ἡ ΓΘ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΘΗ˙ ἡ ἄρα ΗΒ ἴση ἐστὶ ταῖς ΒΘ, ΘΗ. τριγώνου ἄρα τοῦ ΗΘΒ αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΗΘ, ΒΘ τῇ μιᾷ τῇ ΗΒ ἴσαι εἰσίν, ὅπερ ἀδύνατον˙ οὐκ ἄρα ἐφαρμόζει μέρος τι τοῦ ἐκτὸς κύκλου μέρει τινὶ τοῦ ἐντός˙ τέμνει ἄρα ὁ ἐκτὸς κύκλος τὴν ὑπὸ ΑΓΗ γωνίαν. καὶ οὕτως ἐπ'ἄπειρον τῷ αὐτῷ τρόπῳ ἐκτὸς γράφων κύκλους ἐπ'ἄπειρον μὲν τὴν ἐκτὸς γωνίαν μειῶ, αὔξω δὲ τὴν ἐντός˙ καὶ οὐδέποτε ἡ ἐντὸς αὐξομένη ἴση γενήσεται τῇ ὀρθῇ, ἀλλ'ἀεὶ πάσης ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων γίνεται. εἰ τοίνυν δέδεικται ὅτι ἐνδέχεται τοῦ αὐτοῦ μεῖζον μέν τι καὶ ἔλαττον, εἶναι, οὐκέτι δὲ καὶ ἴσον διὰ τὴν ἀνομοιότητα τῶν μεγεθῶν, κακῶς ἄρα ὁ Βρύσων ἐλάμβανεν ὅτι, εἰ μεῖζον τοῦ κύκλου ἐστὶ τὸ περιγραφόμενον εὐθύγραμμον καὶ ἔλαττον τὸ ἐγγραφόμενον, ἔστιν ἄρα καὶ ἴσον τὸ μεταξὺ τοῦ τε ἐγγραφομένου καὶ τοῦ περιγραφομένου˙ ἀνόμοια γὰρ κἀνταῦθα τὰ μεγέθη, λέγω δὴ τὸ εὐθύγραμμον τῷ κύκλῳ ὥστε οὐδὲ ἴσα ἔσται. cf. p. 115, 1-7 et p. 149, 7-15.